STAGE3 重ね合わせを1回で ― オラクルは比較しない

STAGE 3重ね合わせを1回で

線形性という仕分け係

🎯 ミッション

重ね合わせを錠前に通しても、回路が動くのは1回だけ――それなのに101の成分だけが反転する理由を、「線形性」という言葉を使って説明できれば合格。「中で成分を1個ずつ判定しているのでは？」に自分の言葉で反論できれば完璧だ。

未達成

ねこ博士

錠前は完成した。今日はいよいよ、重ね合わせを通す。
準備として、こんな状態を用意しよう。
|ψ⟩ ＝ ½(|001⟩＋|101⟩＋|110⟩＋|000⟩)
読み下すと、「001、101、110、000 の4つの候補に、長さ½の矢印が1本ずつ立っている一覧表」だ。確率はそれぞれ長さの2乗で¼ずつ、合計はちゃんと1になる。ψ（プサイ）は状態に付けた名前だよ。

うさ美

これを C=101 の錠前に通すんですね。前のステージの結果を成分ごとに当てはめてみます。
・|001⟩ → 一致しないので無傷
・|101⟩ → 一致するので −|101⟩
・|110⟩ → 無傷
・|000⟩ → 無傷
だから、
|ψ⟩ → ½(|001⟩−|101⟩＋|110⟩＋|000⟩)
……と計算はできるんですが、この計算、やっていいことの根拠がありません。私はいま、頭の中で成分を1個ずつ取り出して錠前に通しました。実物の回路も同じことを――つまり中で4回の判定を――しているんじゃないですか？

ねこ博士

今日の本題はまさにそこだよ。答えから言うと、その計算は正しい。しかし実物の回路は1回しか動いていないし、成分を取り出す装置はどこにもない。
両方を成り立たせているのが、量子力学の線形性という性質だ。式で書くと、どんなゲートUと、どんな矢印の組でも、
U(α|001⟩＋β|101⟩) ＝ αU|001⟩＋βU|101⟩
――「足してから通した結果」と「1個ずつ通してから足した結果」が、必ず一致する。αやβは各成分の矢印だ。これはゲートの工夫ではなく、量子力学の法則そのものが持っている性質でね。シュレーディンガー方程式に従う変化は、例外なくこの形になる。

うさ美

つまり、私がやった「成分ごとに当てはめる」計算は、答えを求めるための便利な筆算であって、回路の中で起きている手続きの写しではない、ということですか。
回路が本当にやったことは……1回の書き換え。それなのに、答えは1個ずつ通した場合と必ず同じになると、法則が保証してくれている。

ねこ博士

その区別ができれば、今日の山は越えた。
もう一段具体的に、ゲートの側から見てみよう。前作でゲートは「一覧表の書き換え規則」だと学んだね。①のXゲートの規則は「y₁の桁が違う行どうしを、そっくり入れ替える」。000の行と010の行、101の行と111の行……全行に対して一斉に働く規則だ。②の多重制御Zの規則は「111の行の矢印だけ反転」。
どの規則も、行が4行埋まっていようが2¹²⁸行埋まっていようが、適用は1回。「埋まっている行の数だけ繰り返す」という概念が、そもそも存在しないんだ。

うさ美

波で考えると腑に落ちます。量子力学の旅の二重スリットでは、1個の光子の波が2つのスリットを通って、両方の道筋が同時に変化しました。あのとき「スリットが道筋を1本ずつ処理した」とは考えませんでした。波がいくつ山を持っていても、板は1枚、通過は1回。
錠前も同じで、4つの山を持つ波が1枚の錠前を1回通り、101の山だけがひっくり返って出てくる。

ねこ博士

いいまとめだ。だから正確に言うなら、オラクルは
「値を一つずつ取り出して、正解と比較する」のではなく、
「U|101⟩＝−|101⟩、それ以外の U|y⟩＝|y⟩ という物理的な変換として、あらかじめ作り込まれている」。
そして線形性が、重ね合わせのどの成分にもこの変換を勝手に行き渡らせる。こちらは場合分けをひとつもしていない。仕分けは装置の仕事ではなく、法則の仕事なんだ。

うさ美

STAGE1からの流れがつながりました。
・古典の錠前：比較リストなしで一致を見抜く固定回路（比較0回）
・量子の錠前：同じ回路をX・多重制御Z・Xで作る（やはり比較0回）
・重ね合わせを通す：回路1回で、全成分の照合が済む（線形性のおかげ）
……ただ、まだ棚上げの疑問が残っています。3ビットの多重制御Zは門番1人で済みました。でも128ビットの「全部1なら反転」なんて巨大な門番が、部品として本当にあるんですか？

ねこ博士

ない、というのが正直な答えだ。実物の量子コンピュータが直接実行できるのは、1ビットや2〜3ビットに働く小さな基本ゲートだけでね。128ビットの門番は、小さな部品を組み合わせて自分で建てることになる。その建て方――ANDの鎖と逆計算――が次のステージの主役だよ。

|ψ⟩ ＝ ½(|000⟩＋|001⟩＋|101⟩＋|110⟩)

上の候補ボタンで好きな重ね合わせを作り、「錠前を1回通す」を押してみよう。何成分入れても、反転するのは101の矢印だけで、回数カウンタは1回ぶんしか進まない。2回通せば101の矢印は元に戻る（反転の反転）。回路の中に成分を取り出す装置はなく、仕分けはすべて線形性――「足してから通す＝1個ずつ通してから足す」という法則――の仕事だ。

【線形性 ― 重ね合わせが勝手に仕分けられる理由】・例：|ψ⟩ ＝ ½(|001⟩＋|101⟩＋|110⟩＋|000⟩) を C=101 の錠前に1回通すと ½(|001⟩−|101⟩＋|110⟩＋|000⟩) ・これは回路が成分を1個ずつ取り出して比較した結果ではない。錠前は U|101⟩＝−|101⟩、U|y⟩＝|y⟩（y≠101）という物理的な変換として作り込まれている・線形性：U(α|001⟩＋β|101⟩) ＝ αU|001⟩＋βU|101⟩。「足してから通す」と「1個ずつ通してから足す」の結果が必ず一致する――量子力学の法則そのものの性質・ゲートは一覧表全体への書き換え規則。埋まっている行が4行でも2¹²⁸行でも適用は1回。「行の数だけ繰り返す」という概念自体がない・成分ごとの筆算は答えを求める便利な計算法であって、回路内部の手続きの写しではない

確認クイズ

Q1. ½(|001⟩＋|101⟩＋|110⟩＋|000⟩) を C=101 の錠前に1回通すと？

Q2. 成分が100万個の重ね合わせを錠前に通すとき、回路が動く回数は？

Q3. 「線形性」の説明として正しいのは？

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