波を数式で書く

今回の旅の目的地を、最初に見せておこうね。量子力学の教室で、電子は波動関数 ψ（プサイ）という波で表されることを学んだ。二重スリットの縞模様も、原子がつぶれずにいられる理由も、ぜんぶ ψ の仕業だった。……ところがあの教室では、いちばん大事な質問をまだしていないんだ。その波 ψ は、どんな法則にしたがって動くのか？ ニュートンの力学には F＝ma という大黒柱があるね。力 F が分かれば、質量 m の物体がどう加速するか（a）が計算できて、未来の運動が予言できる。じゃあ、波 ψ にとっての「F＝ma」は何なのか。その答えが、1926年にシュレディンガーが見つけたシュレディンガー方程式だよ。このクエストでは、あの方程式を、いきなり完成品として覚えるのではなく、シュレディンガーがやった発見を、自分の手でもう一度やり直す。

いい順序で考えているよ。波の方程式を探すには、まず波を式にする道具が要る。そして道具は、実はたった一つでいいんだ。sin（サイン）――複素数の教室で、複素数を「長さと角度」で書くときに使ったあれだね。今日の使い方に合わせて、定義をそろえ直しておこう。半径1の円を描いて、円の上を反時計回りに動く点を考える。スタート地点は真横（時計の3時の位置）。中心から見てスタートから測った角度を θ（シータ）とするとき、その点の高さ（中心の高さから測った縦の位置）を sinθ と呼ぶ。あの教室で言った「角度 θ へ長さ1進んだときの、縦の距離」と同じものだよ。

そのとおり。では、横軸に θ、縦軸に sinθ をとってグラフにしてごらん。円を回る点の高さを、そのまま横に写していくんだ。出てくる曲線こそ――波の形そのものなんだ。円運動の「影」が波。これが、波と sin がつながる理由だよ。

角度の測り方も、ここでそろえておこう。これからは「度」ではなくラジアン――複素数の教室で e を導く前に約束した、あの単位を使う。決め方は半径1の円の上を、点が実際に歩いた道のり（弧の長さ）で角度を測る、だったね。半径1の円の一周の長さは、円周の公式から 2π（パイ）＝約6.28。だから一周＝360°＝2π ラジアン、半周＝π、直角＝π/2。なぜわざわざ乗り換えるかというと、「角度＝歩いた距離」になっていると、この先の式から換算の係数が消えて、驚くほどきれいになるからなんだ。

それが今日いちばん働く事実だよ。では本番。写真のように時間を止めた波を式にしてみよう。海の波をパシャリと撮ったところを想像してごらん。横軸はもう角度ではなく、場所 x（単位はメートル）だ。波の山から次の山までの距離――繰り返しのひと区切りの長さを波長と呼んで、λ（ラムダ）と書く。そして波の高さの最大値を振幅 A と呼ぶ。ほしいのは「x が λ 進むごとに、同じ高さが繰り返される」式。sin は中身が 2π 増えるごとに繰り返すのだから、x が λ 進んだとき、sin の中身がちょうど 2π 増えるように仕組めばいい。そこで x を λ で割って 2π を掛ける。つまり――

いい読み下しだね。さて、本物の波は写真のように止まってはいない。走る。次はこの式を動かそう。そのための道具が、グラフの平行移動の技だ。関数 f(x) のグラフに対して、f(x−d) のグラフは、元のグラフを右に d だけずらしたものになる。少し不思議に感じるかもしれないね。マイナスなのに右へ動く。理由を確かめよう。f(x−d) に x＝d を入れると f(0)。つまり元のグラフが x＝0 で見せていた景色が、新しいグラフでは x＝d の位置に現れる。景色がそっくり右へ d 引っ越したわけだ。

いいね。この式をいろいろな目で眺めてみよう。まず、1か所に立って波を見張るとどうなるかな。海に浮かんだブイを想像するといい。ブイは横には流されず、波が通り過ぎるたびにその場で上下する。1回の上下（山が来て、谷が来て、次の山が来るまで）にかかる時間を周期 T と呼ぶ。波は速さ v で走っていて、山と山の間隔は λ だから、次の山が来るまでの時間は T＝λ/v。そして1秒間に何回上下するかを振動数 ν（ニュー）と呼ぶ。1回に T 秒かかるなら、1秒には 1/T 回できるから ν＝1/T だ。単位はヘルツ（Hz）。ラジオの「81.3メガヘルツ」は、電波が1秒に8130万回振動しているという意味だよ。

仕上げに、記号を整理しておこう。これから何度も出てくる組み合わせに、専用の名前をつけるんだ。まず sin の中身を展開すると 2πx/λ − 2πvt/λ。ここで v/λ＝1/T＝ν を使うと、第2項は 2πνt になるね。そこで――k ＝ 2π/λ を波数（はすう）、ω（オメガ）＝ 2πν を角振動数と呼ぶことにする。すると波の式は y ＝ A sin(kx − ωt)。すっきりしたね。読み方はこうだ。k は「1メートル進むと、sin の中身（位相）が何ラジアン進むか」――つまり波の細かさ。λ が短い（細かい波）ほど k は大きい。ω は「1秒たつと、位相が何ラジアン進むか」――つまり振動の速さだ。円の絵で言えば、1秒に何ラジアンぶん円を回るか、だね。

そう。だから式に v を書く必要がないんだ。……裏を返すと、波を1本書くのに本当に要るのは A と k と ω の3つだけ。速さはその3つから後で出てくる。……さあ、これで「波を数式で書く」道具はそろった。y＝A sin(kx−ωt)。この一本が、海の波も、音も、ギターの弦も、光さえも記述する万能の型だ。次はいよいよ、これを電子の波 ψ につないでいく。

よく覚えていたね。そのとおり、sin だけで電子の波を書こうとすると、あのときの不都合がそのまま起きる。そして答えの名前も、きみはもう知っているわけだ――複素数の波 e^iθ。ただ、教室で見たのは完成した絵だけで、その波がどういう式なのかは置いてきたね。次のステージでやるのは、それを今日の式から自分の手で組み立てることだよ。きみが複素数の教室で鍛えた「回る矢印」が、ここで物理の表舞台に立つ。