定常状態と時間発展

最終ステージだ。前回きみが思い出してくれた定常状態――「針は回るのに、確率の景色は静止する」を、まず自分の手で確かめてもらおう。エネルギー E が決まった状態は ψ(x,t)＝φ(x) e^−iEt/ℏ だったね。この状態の確率密度 |ψ|² を計算してごらん。複素数の大きさには、便利な性質がある。積の大きさは、大きさの積――|ab|＝|a||b| だ（矢印の掛け算は「長さを掛けて、角度を足す」操作だから、長さだけ見ればこうなる）。

それが定常状態――「定まって常なる状態」という名前の中身だ。名前と絵で知っていたものを、方程式の解として自分で出し直したことになるね。そしてこれこそ、原子が潰れない理由の核心なんだよ。歴史を少しだけ。20世紀初頭、原子は「太陽系ミニチュア」――電子が原子核の周りを回る絵で描かれていた。ところがこの絵には致命傷があった。電磁気学によれば、ぐるぐる回る（＝加速し続ける）電荷は電波を出してエネルギーを失う。計算すると、電子は1000億分の1秒ほどで原子核に墜落する。この宇宙に安定な原子は存在できないはずだった。……ところが量子力学の答えはこうだ。原子の中の電子は「回って」などいない。定常状態という、観測できる景色が一切動かない波として存在している。動く電荷がなければ電波も出ない。しかも、エネルギーの段は飛び飛びで最下段 E₁ がある。そこより下に落ちる段が存在しないから、墜落のしようがない。きみの部屋の机も、体の原子も、この仕組みで100億年でも安定でいられる。

ここで、教科書との橋を架けておこう。ステージ6で私たちは、ψ＝φe^−iEt/ℏ を方程式に入れて時間を割り落とし、「形 φ だけの方程式」を作ったね。V(x) を残して一般に書くと
−(ℏ²/2m) φ″ ＋ V(x)φ ＝ Eφ　つまり　Ĥφ ＝ Eφ
これを時間に依存しないシュレディンガー方程式と呼ぶ。役割分担はこうだ。本家 iℏ∂ψ/∂t＝Ĥψ はどんな波でも動かせる進行係。時間に依存しない方は、「許される形 φ と、はしごの段 E」を探し出す段さがし係。教科書で延々と解かされるのはもっぱら後者だけれど、それは後者が前者の部品――定常状態のカタログ作り――だからなんだ。

この旅の最後の問いだね。答えは重ね合わせにある。量子力学の教室で、E₁ と E₂ が混ざった状態では |ψ|² の山が動き続ける、という絵を見たね。あの絵の中身を、式で開いてみよう。シュレディンガー方程式は都合のいい性質を持っていてね。ψ₁ と ψ₂ がどちらも解なら、足し合わせた ψ₁＋ψ₂ も解になる（方程式に入っている操作――微分も V を掛けるのも――が「和を保つ」からだ）。そこで、段 E₁ の状態と段 E₂ の状態を混ぜた状態を考えてごらん。E₁ の針は E₁/ℏ のペースで、E₂ の針は E₂/ℏ のペースで回る。回るペースが違う。すると2つの波は、合わさったり打ち消し合ったりを繰り返して、|ψ|² がゆさゆさと揺れ始めるんだ。ギターの弦を2本、わずかに違う音程で鳴らすと「わんわん」とうなりが聞こえる、あれと同じ理屈だよ。揺れの振動数を計算すると、位相差が (E₂−E₁)t/ℏ で進むから、ν＝(E₂−E₁)/h。

そう、これが方程式の底力だ。世界の動きの正体は、エネルギーの違う定常状態どうしの、回転ペースのずれなんだよ。そして1926年、シュレディンガーは本丸に攻め込んだ。水素原子――V(x) を原子核の電気的な引力にして方程式を解くと、はしごの段が Eₙ＝−13.6 eV／n² と出てくる。段差から hν で計算した光の色は、分光器で測られていた水素のスペクトル線と小数点以下まで一致した。さらに、解の形 φ（軌道、オービタルと呼ばれる）は原子の中の電子の「雲の形」を与えて、元素の周期表がなぜあの並びなのか、化学結合がなぜできるのかまで、この方程式から説明されていく。化学という学問まるごとが、実はこの式の応用問題だったわけだ。

それが今回の旅で、いちばん持ち帰ってほしかったものだよ。もちろん、この方程式にも守備範囲はある。電子が光速に近い速さで動くときは、相対性理論と合体させた方程式（ディラックが1928年に作った）が要る。それでも、身の回りの物質世界――原子、分子、光、半導体――のほとんどは、きみが今日組み上げた1行の上に建っている。最後のクイズに答えたら、クリア画面で旅を振り返ろう。よくここまで登り切ったね。