数え上げで不等式を導く

いよいよ、この旅の山場だよ。前のステージで出てきた手袋派の説明――「答えは生まれた瞬間に仕込まれていた」――を、まず、あいまいさゼロのモデルに翻訳する。裁判にたとえるなら、被告「局所実在論」の主張を正確な調書にとる作業だね。主張を歪めて書いたら、あとでどんな判決を下しても意味がない。準備として、アリスとボブが使う偏光板の角度を3種類に決めておこう。A＝0°、B＝30°、C＝60°だ。2人はペアが届くたびに、この3つの中から好きな角度を選んで質問する。なぜ2種類ではなく3種類なのか――それはこのステージの後半で効いてくるよ。

その「説明書」という言葉、いただこう。まさにそれが物理学者のいう隠れた変数の正体だよ。調書は2本の柱にまとめられる。仮定1（実在性）：各光子は、A・B・C各角度への答え（○か×）をすべて書き込んだ説明書を、生まれた瞬間から持っている。測定はそれを読み上げるだけ。実際に測らなかった角度の答えは読まれずに終わるが、手袋派によれば、読まれなかった答えもちゃんと存在していた。仮定2（局所性）：アリスがどの角度を選んで測っても、遠くにあるボブの光子の説明書は書き換わらない。逆もまた同じ。説明書は光源で書き込まれたら、あとは読まれるのを待つだけで、遠くの出来事に反応してこっそり内容が変わる――そんな光速超えの通信は禁止だ。

そのとおり。仕込みは2枚とも同一――これで局所実在論の調書が完成した。仕上げに、ありえる説明書を全部リストアップしておこう。1冊の説明書は、A・B・Cという3つの質問への答え（それぞれ○か×）で決まる。すると説明書は何通りあるかな。数えてごらん。

割合が分からない――そここそが、ベルの発見の凄みが光る場所なんだ。ベルはこう考えた。割合がどう配分されていても、絶対に成り立ってしまう関係だけを使おう、と。たとえばね、クラスの生徒の血液型の割合を知らなくても、「A型の人数は、A型で犬を飼っている人数より少なくない」ことは断言できる。全体は部分より少なくないからだ。中身を知らなくても言えることは、ちゃんとあるんだよ。

そういうことだ。では、これから注目する量を決めよう。アリスとボブが違う角度で測ったとき、2人の結果（○×）が食い違うことがある。たとえばアリスがA（0°）で測って○、ボブがB（30°）で測って×、という具合だ。たくさんのペアで実験を繰り返して、「角度AとBで測ったとき、結果が食い違う割合」を記録する。これをD(A,B)と書こう。Dは食い違い（Difference）の頭文字だ。同じように D(B,C)、D(A,C) も測れる。説明書は2枚とも同一だから、観測されるD(A,B)は「A欄とB欄の答えが食い違う説明書の割合」そのものだね。なお2人は毎回サイコロで角度を選ぶことにしよう。光源が2人の質問を先読みして説明書の配合を変える、なんてズルを封じておくためだ。今日の目標は、説明書モデルが正しければ、この3つの数のあいだに必ず成り立ってしまう関係を見つけることだ。

それだ！ それがベルの発見の心臓部だよ。では個数の言葉に翻訳してごらん。全部でN組のペアを作ったとして、A≠Cの説明書がN₁冊、A≠BがN₂冊、B≠CがN₃冊あったとしよう。いまきみが証明したのは、N₁冊のメンバー全員が、N₂かN₃のグループにも所属しているということだ。すると？

それでいいんだ。おめでとう、いまきみは1964年のジョン・ベルと同じ景色を見た。正確には、これは物理学者ウィグナーが整理した形で、教科書ではベルの不等式（ウィグナー型）と呼ばれるものだよ。意味を日常の言葉で言い直しておこう。Bは30°で、AとCのちょうど中間の角度だったね。不等式が言っているのは、「遠回りした食い違いの合計は、直行の食い違いを下回れない」ということだ。意見の合わない2人、AさんとCさんの間にBさんが立つ場面を想像してごらん。AとCの意見が違うなら、Bさんは少なくともどちらか一方とは意見が違うはずだね。全員と同時に同じ意見ではいられない。それを割合の式にしただけなんだ。

その「成り立つに決まっている」という感覚こそ、正しく導出できた証拠だよ。そして、だからこそこの式は恐ろしいんだ。万が一、この一線を越えるデータが自然から出てきたら――崩れるのは個々の理論の細部ではなく、説明書モデルそのもの、つまり局所実在論そのものになるからね。これで裁判の基準ができた。D(A,C) ≤ D(A,B)＋D(B,C)――局所実在論である限り、被告が誰であってもこの一線は越えられない。では次のステージで、量子力学に食い違い率Dの予言を出させてみよう。偏光板を斜めに通る光の確率を計算して、D＝sin²(角度差) を手に入れる。きみの「成り立つに決まっている」が本当かどうか、そこで分かるよ。