回る矢印 e^iθ

前回きみは、量子力学の教室で聞いた不都合を思い出してくれたね。「sin の波は必ずどこかで高さが 0 になるから、見つかる確率にも縞ができてしまう。運動量だけが決まった電子に『いてはいけない場所』が等間隔に並ぶのはおかしい」。そして、それを救うのが複素数の波だということも、きみはもう聞いている。教室で渡されたのはそこまで――回る矢印の絵と、結論だけだった。今日はその波を、前回の sin から式として組み立てる。きみが複素数の教室で鍛えた道具が、ここで物理の主役になるよ。まずは道具の点検からだ。要点を自分の言葉で整理してごらん。

いい復習だね。では、その道具箱からもう一つ取り出そう。きみが複素数の教室の最後にたどり着いたオイラーの公式だ。
e^iθ ＝ cosθ ＋ i sinθ
今日はこれを、物理の表舞台に立たせる。使う前に、要点だけ確かめ直しておこうね。まず記号から。cos（コサイン）は sin の相棒で、前回の円の絵で言えば、円を回る点の横の位置のこと（sin は縦の位置だったね）。そして e は約 2.718 という定数。複素数の教室では「1円を年利100%で、利息を無限に細かく分けて複利にすると1年後に e 円になる」という成長の極限として出会った数だね。そしてこの公式が言っていたのは、こういうことだ。e の肩に「i×角度」を乗せると、単位円の上の、角度 θ の位置の点になる――つまり e^iθ は長さ1の、角度 θ を向いた矢印そのものだ、と。何度見ても驚く主張だよ。

よく覚えていたね。そこに、ひとつだけ足しておこう。なぜ θ がそのまま「角度」になるのかだ。スタートは θ＝0 で e⁰＝1、つまり単位円の真横（3時の位置）。矢印の長さは1で、変化の速さも |i×1|＝1 だから、θ が 1 進むあいだに円周の上をちょうど 1 だけ歩くことになる。前回ラジアンを「半径1の円で歩いた道のり＝角度」と決めたから、θ はそのまま角度になるわけだ。まとめると――e^iθ は単位円上を反時計回りに、角度 θ まで回った矢印。横の位置（実部）が cosθ、縦の位置（虚部）が sinθ。オイラーの公式は、この観察を1行に書いたものだよ。

では、この矢印で波を作ろう。前回の波 y＝A sin(kx−ωt) の心臓部は、位相 kx−ωt だった。この位相を、sin の中身ではなく矢印の角度として使うんだ。
ψ(x, t) ＝ A e^i(kx−ωt)
絵で想像してごらん。数直線の各地点 x に、小さな時計の針（矢印）が1本ずつ立っている。x の地点の針の角度が kx−ωt だ。ある瞬間 t で見ると、右の地点ほど kx のぶん角度が進んでいる――針の向きが場所とともにくるくるねじれて、らせん階段のようになっている。そして時間が経つと、ωt のぶんすべての針がいっせいに回る。

「本体は針で、sin は影」――今日の教訓を先取りされてしまったね。では、なぜ物理学者はわざわざ本体（複素数）で書くのか。強みは2つある。強みその1は、教室では絵で眺めるだけだった、あの不都合の解消だ。今日は式で確かめられる。矢印の長さを考えてごらん。影（sin）の高さは、場所を右へたどるだけで A→0→−A→0 と上下に暴れる。では、回っている矢印そのものの長さは、場所や時刻でどう変わるかな。

そのとおり。その矢印の長さは、複素数の教室でやった絶対値だね。|a＋bi|＝√(a²＋b²)、三平方の定理そのものだった。波の場合は |ψ| と書く。cos²θ＋sin²θ＝1 だから |e^iθ|＝1、よって |ψ|＝A で一定。強みその2は、この先の導出の生命線になる。予告だけしておこう。次の次のステージで、私たちは波を微分という道具にかける。詳しくはそのときやるけれど、sin は微分すると cos に化け、cos は −sin に化ける。形がころころ変わるんだ。ところが e^iθ は、微分しても i が1個前に出てくるだけで、自分自身のまま。「変化の速さ＝i×いまの値」という、さっき円運動を導いたあの性質そのものだよ。形が崩れないから、方程式の材料として圧倒的に扱いやすい。

とても大事な区別だよ。海の波や音では、複素数は計算を楽にするための便利な道具にすぎない。計算の最後に「実部だけ取り出す」と約束して、本当の答えはあくまで実数だ。ところが量子力学では事情がまったく違う。教室で「複素数は便利なのではなく必須だった」と聞いたのは、この違いのことだよ。ψ そのものが本質的に複素数で、実部だけ取り出しても正しい物理にならないんだ。なぜそう言い切れるかは、方程式が完成したステージ5で、方程式自身が教えてくれる。式の中に i が堂々と居座るのを、きみは目撃することになる。……ここでは伏線として、こう覚えておいてほしい。ψ は観測にかかる「高さ」ではない。じゃあ観測にかかるのは何か――それはステージ7で、|ψ| が主役になって答えてくれる。

その接続こそ、次のステージの仕事だよ。翻訳ルールはたった2本。しかもどちらも、量子力学の教室ですでに出会っている式だ。プランクとアインシュタインが光に見つけ、ド・ブロイが電子へ裏返した、あの2本――E＝hν と p＝h/λ。次回、この「辞書」を丁寧に読み直そう。