光の粒と物質の波

現在地を確認しよう。私たちは電子の波を ψ＝A e^i(kx−ωt) と書けるようになった。この式に入っているのは、波の細かさ k と、振動の速さ ω――どちらも波の言葉だ。ところが、私たちが最終的に知りたい電子の性質は、エネルギー E や運動量 p――粒の言葉だね。今日はこの2つの言葉をつなぐ辞書を用意する。量子力学の教室で出会った、あの2本の式だ。まず1本目、E＝hν。どんな実験から生まれたのだったか、覚えているところまで話してごらん。

その通り、それで十分だ。比例定数 h はプランク定数、約 6.6×10⁻³⁴ ジュール秒という、とてつもなく小さい数だったね。では、2本目の式に進む前に、運動量をもう一度そろえておこう。量子力学の教室で出会ったとおり、物体の運動量 p は質量 m × 速度 v――「動きの勢い」「止めにくさ」を表す量だったね。同じ速さでも、卓球の球よりボウリングの球のほうが止めにくい。質量のぶん勢いが大きいからだ。物理学者がこの量を特別扱いするのは、衝突の前後で全体の運動量が必ず保存されるという、宇宙で例外の見つかっていない法則があるからなんだ。さて、光もぶつかった相手を押す。彗星の尾が太陽と反対側にたなびくのは、太陽の光が塵を押すからだ。つまり光も運動量を持つ。

その引っかかりは正しいよ。しかも見立ても当たっていて、光子の質量はほんとうにゼロだ。答えは順番のほうにある。p＝mv は、運動量の定義ではないんだ。あれは「重さのあるものが、光の速さに比べてゆっくり動いているとき」に成り立つ近似の式でね。運動量の正体は式ではなく、ぶつかったときに受け渡される量のほうにある。だから確かめ方も単純だ。当たったものが押されたなら、それは運動量を運んできた。……そして光が押すことは、計算の中の話ではなく測れる事実だよ。日本の探査機「IKAROS」は2010年、燃料を使わずに、太陽の光を大きな帆で受けるだけで加速してみせた。光が押さないなら、あの帆は1ミリも進まない。レーザー光で細胞や微粒子をつまんで運ぶ「光ピンセット」も、光が運動量を受け渡すことを利用した道具だよ。

そこで相対性理論の出番だ。エネルギー・運動量・質量の関係は、ほんとうは1本の式にまとまっていてね。
E²＝(pc)²＋(mc²)²
読み下すと「エネルギーの2乗は、動きのぶんと質量のぶんの足し算」。この式に、3通りの場合を入れてみよう。止まっている重いもの（p＝0）なら、残るのは E＝mc²――あの有名な式だ。ゆっくり動く重いものなら、見慣れた p＝mv が近似として戻ってくる。そして質量ゼロのもの（m＝0）を入れると、質量のぶんがまるごと消えて E＝pc だけが残る。p＝mv と E＝pc は別々の法則ではなく、同じ1本の式の両端なんだ。だから光は、質量ではなくエネルギーを持っていることによって運動量を持つ。この1本の式そのものの導出は相対性理論の仕事だから、今日は事実として借りておこう。

やってみせよう。使うのは因数分解だけだよ。まず (mc²)² を左辺に移す。
E²−(mc²)²＝(pc)²
左辺は「2乗ひく2乗」の形だから、和と差の積に分解できるね。
(E−mc²)(E＋mc²)＝(pc)²
ここで「ゆっくり」が効いてくる。ゆっくり動くものは、動きのぶん pc が、質量のぶん mc² に比べてうんと小さい。すると全エネルギー E は mc² とほとんど同じ大きさになるから、E＋mc² は 2mc² とみなしていい。
(E−mc²)×2mc² ≒ p²c²
両辺を 2mc² で割ると、c² が約分されて
E−mc² ≒ p²/(2m)
この左辺 E−mc² は、止まっているときのエネルギー mc² を超えた分――つまり運動エネルギーだ。そしてニュートン力学では、運動エネルギーは ½mv² と書ける。同じものを2通りに書いたのだから、等しいとおいてごらん。
p²/(2m) ＝ ½mv²　→　p²＝m²v²　→　p＝mv
ほら、戻ってきた。効いたのは「E＋mc² ≒ 2mc²」の一手だけ。これが成り立つのは、pc が mc² に比べて小さいとき――つまり光速よりずっと遅いとき、という条件つきだよ。

では、それを使って計算しよう。E＝pc を運動量について解くと p＝E/c。ここにきみの言う E＝hν を入れて、p＝hν/c。そして光の速さは c＝λν（1秒に ν 個ぶんの波長 λ が通過する）だから ν/c＝1/λ。代入すると――p＝h/λ。エネルギーの式と対になる、美しい式が出てくる。

そう。確かめたのは1924年の予言から3年後、1927年のデイヴィソンとガーマーの実験だよ。電子をニッケルの結晶に当てると、波にしかできない縞模様が現れた――こういう波の縞模様の作り方を回折と呼ぶ。発表当時は審査する側も判断に困ったほど大胆な類推が、こうして実験事実になった。ド・ブロイは1929年にノーベル賞を受けた。……これで役者がそろったよ。電子は、E＝hν と p＝h/λ という翻訳ルールを持つ波である。実験が保証してくれた、これが私たちの出発点だ。

仕上げに、この辞書を私たちの波の式の言葉に合わせて磨いておこう。ステージ1で、波は λ や ν よりも、k＝2π/λ と ω＝2πν で書くのがきれいだと学んだね。辞書も同じ言葉に翻訳する。計算はただの代入だよ。
E ＝ hν ＝ h × (ω/2π) ＝ (h/2π) ω
p ＝ h/λ ＝ h × (k/2π) ＝ (h/2π) k
どちらにも h/2π という同じ塊が現れた。あまりに頻繁に出てくるので、この塊には専用の記号がある。ℏ（エイチバー）＝ h/2π ≈ 1.05×10⁻³⁴ J·s。これを使うと、辞書はたった2本、しかも美しく対称な形になる。

その書き換えが、今日の到達点だよ。眺めてごらん。電子の波そのものが、E と p を「位相の進むペース」として体内に記録している。空間方向に p のペースでねじれ、時間方向に E のペースで回る。……そこで、次の問いが自然に生まれる。波の中に記録されているなら、取り出せるはずだ。式 ψ から、掛け算や足し算のような操作で、p や E を引きずり出す方法はないか？　その道具が微分――次のステージの主役だ。