微分という検出器

前回の宿題はこうだった。電子の波 ψ＝A e^{i(px−Et)/ℏ} の中には、運動量 p とエネルギー E が「位相の進むペース」として記録されている。ならば、式への操作でそれを取り出せないか。今日はその道具、微分を手に入れる。量子力学の教室で名前だけ聞いて、「出会う日を楽しみに」と預けてあったあれだね。中身は、あのとき聞いたとおり素朴だよ。グラフの傾きを読む。それだけだ。関数 f(x) のグラフの上で、x をほんの少し（d とする）進めたときの高さの増え幅を、進んだ幅 d で割る：(f(x＋d)−f(x))／d。d をどんどん小さくしていったときにこの割合が近づく値を、x での微分（傾き）と呼んで、df/dx と書く。この d は、記号を考えたライプニッツが differentia（ラテン語で「差」。英語の difference と同じ語源）の頭文字として使ったものでね。df/dx は「f の差 ÷ x の差」と読める形になっている。坂道の勾配と同じだね。「3%の坂」が、100m進むと3m上がる坂のことであるようにさ。

それで十分だ。ひとつだけ記号の注意をね。私たちの ψ は、場所 x と時刻 t の2つを入力に取る関数だ。だから「傾き」も2種類ある。時刻 t を凍結して、x 方向の傾きを読む操作を ∂ψ/∂x、場所 x を凍結して、t 方向の変化の速さを読む操作を ∂ψ/∂t と書く。d の代わりに使う ∂（ラウンドディー）という丸い文字は、量子力学の教室でシュレディンガー方程式を読んだときに出てきたね。「他の入力は凍結していますよ」という目印で、この流儀の微分を偏微分と呼ぶのだった。読み方は d のときと同じで、∂ψ/∂x は「x を少し動かしたら ψ がどれだけ変わるか」だよ。

さて、微分の計算規則はたくさんあるけれど、今日の仕事に必要なのはたった1つ。指数関数の微分だ。ステージ2で確認した e の心臓部――関数 e^t は「増える速さ＝いまの量」を思い出してごらん。式で書けば d(e^t)/dt＝e^t。微分しても自分のまま、という唯一無二の関数だ。では e^at（a は定数）ならどうなるかな。中身の時計 at は、t の a 倍の速さで進む。早回しで観察しているのと同じだから、変化の速さも a 倍。つまり――
d(e^at)/dt ＝ a e^at
「肩の係数が、そのまま前に飛び出してくる」。これが今日使う唯一のルールで、a が複素数（i を含む数）でもそのまま成り立つことが知られている。

その通り、それが導出の心臓部だよ。あとは化粧を整えるだけだ。ほしいのは ik ψ ではなく p ψ＝ℏk ψ。邪魔者は i だけだから、−iℏ を掛けて消してしまおう。−i×i＝−i²＝1 だからね。
(−iℏ) ∂ψ/∂x ＝ (−iℏ)(ik) ψ ＝ ℏk ψ ＝ p ψ
まったく同じことを時間方向にもやってごらん。肩の t の係数は −iω だ。

こうした「関数を入れると、加工した関数が返ってくる操作」――量子力学の教室で演算子と呼んだ、あれだね。あのときは Ĥ という完成品を外から眺めるだけだったけれど、いまきみは、演算子を自分の手で1つ組み上げたことになる。運動量の演算子には p̂（ピーハット）という帽子つきの記号を使うのが習わしだよ。p̂＝−iℏ∂/∂x。ここで、きみに確かめてほしいことがある。もし前々回の忠告を無視して、波を実数の sin のままにしていたら、この検出器はどうなっていたかな。sin の微分は cos になることが知られている（円の絵で言えば、縦の位置の変化の速さは横の位置になる、ということだ）。

そのとおり。伏線は回収された。……最後に、次回への仕込みをひとつだけ。この先で必要になるのは、実は p そのものよりも p²（運動量の2乗）なんだ。検出器を2回連続で通せばいい。1回目で ik が前に出て、2回目でもう1個 ik が出る。つまり x で2回微分（∂²/∂x² と書く）すると (ik)²＝−k² が前に出る：
∂²ψ/∂x² ＝ −k²ψ
両辺に −ℏ² を掛ければ、−ℏ² ∂²ψ/∂x² ＝ ℏ²k²ψ ＝ p²ψ。p² の検出器は −ℏ²∂²/∂x² だ。2回微分は「傾きの傾き」、グラフの言葉で言えば曲がり具合（カーブのきつさ）を読む操作だよ。細かい波ほど鋭く曲がる――だから曲がり具合が p² の目盛りになる。

……先に言われてしまったね。そう、次回はいよいよ最終組み立てだ。エネルギー保存則という物理の背骨に、今日の検出器たちをはめ込む。そこに現れるのが、シュレディンガー方程式そのものだよ。