方程式が生まれる瞬間

今日が組み立ての日だ。設計図になるのは、物理でいちばん頼りになる背骨――エネルギー保存則。まず言葉をそろえよう。動いている物体が持つ運動エネルギーは、質量 m・速さ v なら ½mv²――量子力学の教室で、運動量 p＝mv と見比べた式だね。一方、位置エネルギー V は「場所に応じて預けてあるエネルギー」。高い棚の上のボールは、落ちれば速さに変わる分をあらかじめ蓄えているし、押し縮めたバネの中の球や、原子核に引かれる電子も、位置に応じたエネルギーを持つ。場所 x の関数だから V(x) と書く。そして保存則はこう言う。合計 E ＝ 運動エネルギー ＋ V(x) は、途中で形を変えながらも、総額は一定に保たれる。ジェットコースターが谷で速く、山の上で遅いのは、V と運動エネルギーを両替しながら総額を守っているからだね。

とても大事な確認だ。V(x) は「地形図」だと思うのがいちばんいい。横軸が場所 x、縦軸が V の高さのグラフを描く。すると力の正体は、その地形の坂の傾きなんだ。物体は坂を転がり落ちる向き――V の高い側から低い側へ――押されて、坂が急なほど力は強い。いまの3つの例で確かめてごらん。棚の上のボール：地形（高さ）が傾いている→低い方へ押される。押し縮めたバネ：縮めるほど V が急上昇→強く押し戻される。原子核のそばの電子：核に近いほど V が深く落ち込んでいる→核へ引き込まれる。ぜんぶ「坂の傾き」の一言で読めるね。逆に言えば、地形が平らな場所では、力はゼロ。もうひとつ大事なのは、地形全体の高さの基準は自由に選べることだ。ボールの運動は、高さを地面から測っても海面から測っても変わらない。物理に効くのは V の差と傾きだけで、どこを「高さ0」と呼ぶかはこちらの勝手なんだよ。

準備はこれで十分だね。ではシュレディンガーの一手を再現しよう。発想はこうだ。「このエネルギーの帳簿は、電子の波 ψ の上でも成り立っていなければならない」。そこで保存則の両辺に ψ を掛ける。
E ψ ＝ (p²/2m) ψ ＋ V(x) ψ
ただの掛け算に見えるね。ところが、ここに前回の成果を思い出してほしい。Eψ も p²ψ も、ψ への微分操作で作れるんだった。つまりこの式の各部品は、そっくり検出器に置き換えられる――

その慎重さは科学者のものだよ。正直に答えよう。まず、V＝0（力を受けない自由な電子）の場合は、検算できる。ψ＝A e^i(kx−ωt) を方程式に入れてごらん。左辺は Eψ、右辺第1項は (p²/2m)ψ になって、方程式は「E＝p²/2m」――自由な粒子のエネルギーの式そのものに戻る。つじつまは完全に合っている。だが V(x) がある一般の場合はどうか。ここは、はっきり言えば飛躍なんだ。シュレディンガーは「単純な場合にこの形なら、複雑な場合も同じ形の法則が成り立つはずだ」と賭けた。物理の基本法則は、証明されるものではなく推測され、実験で裁かれるものだからね。そして裁きは即座に下った。彼はこの方程式を水素原子に適用して解き、賭けに勝った。その勝負の中身は、旅の最後のステージで見届けよう。以来100年、この方程式が外れた例はない。半導体もレーザーも化学結合も、ぜんぶこの式の上に建っている。

そのとおりだ。ごまかさずに言っておこう。あれは検算であって、検証ではない。連立方程式を解いたあとで、答えを元の式に入れ直して確かめるのと同じ種類の作業でね。分かるのは「代入や符号を間違えていない」ことだけで、方程式が正しい証拠は1つも増えていない。……そのうえで、私たちがどこに賭けたのかをはっきりさせておこう。さっき話した V(x) への一般化に加えて、じつはあと2つある。ひとつは、方程式の形を「足し算してよい形」に選んだこと。組み立てに使ったのは、運動量もエネルギーも1つに決まった平面波、たった1本だ。ところがこの方程式は、2つの解を足したものも、また解になる。そこから重ね合わせも、干渉も、1か所に集まった波も出てくる――平面波1本からは、絶対に出てこない主張だよ。

もうひとつは、時間について1回しか微分していないこと。これは「ある瞬間の ψ の形さえ決まれば、そこから先は全部決まる」と宣言したのと同じでね。ニュートンの F＝ma が、位置と速度の2つをそろえないと未来を言えないのとは、そこが違う。この3つの賭けは、どれも平面波の検算では確かめられない。だから最後は、実験に裁いてもらうしかなかったんだ。

そう、そのとおりだよ。そしてここが、物理学史でも特別な場所なんだ。この方程式は、i を消すことができない。もし ψ が実数の波なら、左辺（実数×i）は純虚数、右辺は実数になって、両辺が等しくなれるのは両方ゼロのときだけ。左辺がゼロということは「時間がたっても ψ がまったく変わらない」ということだから、実数のままでは、伝わる波も、形を変える波も作れない。つまり方程式自身が「解 ψ は本質的に複素数でなければならない」と宣言している。海の波や音では複素数はただの便利道具だったけれど、量子の世界では自然そのものが複素数で帳簿をつけている。シュレディンガー本人すら、最初はこの i に当惑して、実数の方程式に書き直そうと苦闘したほどだよ。……ちなみに、右辺の操作ぜんぶ（曲がり具合を読む＋V を掛ける）をひとまとめにすると、量子力学の教室で名前だけ渡された Ĥ（ハミルトニアン）そのものになる。あのときは「運動エネルギー＋位置エネルギーを表す演算子」という説明を受け取るだけだったけれど、いまのきみは、その中身が何でできているかを一行ずつ知っているね。すると方程式は iℏ∂ψ/∂t＝Ĥψ と、たった一行になる。トップページに掲げてあった式は、これだったんだ。

そのとおり。そのままでは循環している。方程式の i は、私たちが入れたものだ。だから、いったん i という文字を忘れて、別の問いを立てよう。「実数1本の波では務まらないのか」。要求は3つある。ひとつ、さっき賭けた1階――いまの形だけで未来が決まること。ふたつ、辞書から来る条件で、E＝p²/2m は p の符号によらないから、右へ進む波と左へ進む波が同じ振動数を持つこと。みっつ、確率が勝手に消えてはいけないから、波が減衰しないこと。ここで、実数1本の波に対する1階の規則を調べ尽くすと、作れるのは2つの型とその混ぜ合わせしかないんだ。形を横へ送る型（∂u/∂t＝−c ∂u/∂x）と、熱が広がるように平らにならす型（∂u/∂t＝α ∂²u/∂x²）。前者は一方通行で、右へ進む波しか許さないから、ふたつ目に反する。後者は減衰するから、みっつ目に反する。実数1本では、どうやっても3つを同時に満たせない。

抜け道はひとつ。実数を2本使う。u と v の2本が、互いに90°ひねって渡し合う――u の変化は v の曲がり具合で決まり、v の変化は u の曲がり具合で決まる、ただし片方に負号をつけて。
∂u/∂t ＝ −(ℏ/2m) ∂²v/∂x²
∂v/∂t ＝ ＋(ℏ/2m) ∂²u/∂x²
こうすると (u, v) の組は回転するだけで長さは減らず、右向きにも左向きにも進める。そしてこの2本を ψ＝u＋iv と1文字にまとめると、「90°ひねる」がそのまま i になり、上の2本の式は iℏ ∂ψ/∂t＝−(ℏ²/2m) ∂²ψ/∂x² の1本に畳まれる。複素数の教室の「i を掛ける＝90°回す」が、ここで効いているわけだ。だから正確に言えば、循環していないのは「i という記号」ではなく「2成分であること」だよ。i を使わずに、いまの2本の実数の式のまま書くこともできる。でも1本では不可能。それが「本質的に複素数」の中身だ。海の波と違うのもここでね。海の波なら実部だけ取ればよかったけれど、量子の波では2本目が帳簿上の便宜ではない。2本のあいだの角度――位相の差――が、干渉縞の位置として実験に現れる。

その意気だ。次のステージでは、量子力学でいちばん簡単で、いちばん教えの多い問題を解く。「箱の中に閉じ込められた電子」だ。解いてみると、驚くべきことが起きる。誰も頼んでいないのに、方程式が勝手に「エネルギーは飛び飛びの値しか取れない」と答えてくるんだ。量子（quantum）という名前の由来そのものが、計算から転がり出てくるよ。