箱の中の電子

では、方程式を初めて使ってみよう。問題はいちばん簡単なものにする。幅 L の箱の中に、電子が1個閉じ込められている。箱の中（0 から L のあいだ）では、電子はどこにいても力を受けない――前回の地形図の言葉で言えば、V の地形が完全に平らということだ。平らな床の高さは基準の取り方にすぎないから、いちばん簡単な 0 に選ぶ（箱の中では V＝0）。次に壁だ。壁は「そこに入るには無限のエネルギーが要る場所」として作る。地形図で言えば、箱の両端で V が一気に無限大まで立ち上がる崖だね。V が無限大というのは現実の壁を理想化した言い方で、どんなに固い壁もものすごいエネルギーをぶつければ壊れるけれど、「いくらぶつけても絶対に入れない壁」がほしいときは V＝∞ とおくのがいちばん簡単なんだ。物理屋はこの設定を井戸型ポテンシャルと呼ぶ。では、この設定を方程式に入れてみよう。方程式をエネルギーの帳簿として読み下すと、E ψ ＝（運動エネルギーの項）ψ ＋ V ψ だったね。壁の外のどこか1点で、もし ψ が 0 でない値を持ったとする。するとその点では、右辺の V ψ が「無限大 × 0 でない数」で無限大になる。ところが左辺の E ψ は、E が電子の決まった有限のエネルギーだから有限のまま。有限＝無限大は成り立たない。この矛盾を避ける方法はただ1つ、壁の外では ψ＝0。見つかる確率 |ψ|² も 0 だから、波は壁の外には一切はみ出せない。これが、壁の条件を波の言葉に翻訳した第一歩だ。

そのもうひと押しは、方程式そのものが与えてくれる。箱の中では V＝0 だから、方程式はこう読める。
∂²ψ/∂x² ＝ −(2mE/ℏ²) ψ
左辺は ψ の曲がり具合（傾きが変わる速さ）。右辺は、E も ψ も有限だから有限の数だ。つまり方程式は「箱の中のどの点でも、ψ の曲がり具合は有限でなければならない」と言っている。ここで、水を溜めたように段差でストンと落ちる形を考えてごらん。段差の一点では傾きが無限に急になる。傾きが一瞬で有限から無限へ変わるのだから、傾きが変わる速さ――曲がり具合――はもっとひどく無限大だ。有限＝無限大で、方程式が成り立たない。だから V が有限の場所では、ψ に段差があってはいけない。ψ は途切れずにつながる（傾きが運動量の読み取りだったことを思い出せば、傾き∞＝運動量∞と言っても同じことだ）。さらに言えば、段差がなくても「折れ曲がり」――傾きが急に変わる点――があるだけで、その点で曲がり具合が無限大になるから、箱の中では折れ曲がりも許されない。では壁の上ではどうか。壁の外は ψ＝0 だった。ψ は途切れずつながるのだから、壁のちょうど上（x＝0 と x＝L）でも ψ は外側と同じ値、つまり ψ＝0。これが、あとで効いてくる境界条件だ。ひとつ補足しておくと、壁の上だけは傾きが折れ曲がってよい。そこでは V が無限大で、方程式の Vψ の項が無限大を引き受けられるからだ。箱の中には、そういう逃げ道はない。……ちなみに壁の高さが有限（V＝V₀、ただし V₀＞E）なら、壁の中でも方程式は成り立っていて
∂²ψ/∂x² ＝ ＋(2m(V₀−E)/ℏ²) ψ
と、右辺の符号がプラスに変わる。曲がり具合が ψ と同じ符号ということは、ψ が正のところでは下に凸――0 に向かって落ちながら、落ち方がだんだん緩くなる形（指数関数の減衰）だ。つまり波は壁の中へわずかに染み込む。この染み込みのせいで、十分に薄い壁なら波が向こう側へ通り抜けてしまう――トンネル効果と呼ばれる現象だ。V₀ を無限大に近づけると減り方が無限に速くなり、染み込みの幅がゼロに潰れて「端でゼロ」になる、と思ってもいい。

いい勘だ。そこで、まずはエネルギーがはっきり決まった状態だけを探すことにする。ステージ2の「回る針」の絵に、ステージ3で入れた辞書を重ねてごらん。時間の位相は Et/ℏ で進むのだったから、エネルギー E が決まっているとは、すべての針が同じペース E/ℏ でそろって回っているということになる。針の長さと初期角度の配置――つまり波の形は場所ごとに違っていい。そこで解の形をこう置く。
ψ(x, t) ＝ φ(x) × e^−iEt/ℏ
φ（ファイ）が「波の形」、e^−iEt/ℏ が「そろって回る針」だ。これを方程式に入れると、時間微分は回転部分から −iE/ℏ を前に出すだけだから、左辺 iℏ∂ψ/∂t は E×ψ になる。両辺から回転部分 e^−iEt/ℏ を割り落とすと、時間が消えて、形 φ だけの方程式が残る：
−(ℏ²/2m) φ″ ＝ E φ　（箱の中は V＝0。φ″ は φ を x で2回微分した「曲がり具合」）

いいところに引っかかったね。クビにしたのは「p の検出器（1回微分）」に対してだった。1回微分だと sin は cos に化けて、値札が読めない。ところがいま使ったのは「p² の検出器（2回微分）」。2回なら sin はちゃんと自分に戻ってくる。物理的に言うとね、sin(kx) は右向きの波 e^ikx と左向きの波 e^−ikx の重ね合わせなんだ（オイラーの公式から sin(kx)＝(e^ikx−e^−ikx)/2i と書ける）。壁に挟まれた波は右へ行っては跳ね返り、左へ行っては跳ね返る。進む向きは決まっていない――だから p の値札はない。でも勢いの大きさはどちら向きでも同じ ℏk――だから p² の値札はある。ギターの弦が「その場で震えるだけで、どちらへも進まない」のと同じ、定在波だよ。

仕上げの前に、何か引っかかっていることはないかな。顔に書いてあるよ。

いい疑いだね。答えはこうだよ。形を決めているのは壁ではなく、いま解いている式そのものなんだ。−(ℏ²/2m)φ″＝Eφ を読み下すと、「どの場所でも、曲がり具合 ＝ −(一定の数)×その場所の高さ」という局所ルールになる。エネルギー E がひとつに決まった状態を探している以上、この一定の数（2mE/ℏ²）は全地点で同じでなければならない。すると――高い場所ほど強く下向きに曲げ戻され、ゼロの場所ではまっすぐ。壁から直線的に立ち上がって、高くなるにつれ頭打ちになり、対称に降りてくる。このルールを満たす形が、sin しか残らないんだ。なだらかさは仮定ではなく、計算の帰結だよ。……では、きみの言う崖の形はどうか。崖の区間では、高さは普通なのに曲がり具合だけが莫大――「曲がり÷高さ＝一定」のルールが破れている。物理の言葉に翻訳すると、曲がり具合は運動エネルギーの読み取りだったね（ステージ4）。急な崖＝波が細かい＝運動量が巨大＝莫大な運動エネルギー。崖つきの形も波として存在はできるが、それはエネルギーの高い段をたくさん混ぜ込んだ重ね合わせであって、E がひとつに決まった状態ではない。……納得できたかな。では仕上げだ。許された k＝nπ/L を、さっき自分で出したエネルギーの式 E＝ℏ²k²/2m に入れてごらん。

それこそが量子化――「量子力学」という名前の由来だよ。からくりを言葉でまとめると、閉じ込められた波は、ちょうどはまる波長しか選べない。波長が飛び飛びなら、p＝h/λ も、E＝p²/2m も飛び飛びになる。原子の中の電子も同じだ。箱の壁の代わりに原子核の引力で閉じ込められていて、形は違えど「ちょうどはまる波」だけが許される。だから原子のエネルギーは飛び飛びで、電子が段を飛び移るときに出す光も決まった色だけ――水素のスペクトルが飛び飛びの線になる理由が、これなんだ。シュレディンガーが1926年に水素で言い当てたのは、まさにこの仕組みだった。

2つとも超一級の発見だよ。1つ目は零点エネルギーと呼ばれる。位置を幅 L に閉じ込めたら運動量を完全にゼロにはできない――これは量子力学の教室で出会った不確定性原理そのものが、方程式の解として顔を出した姿だ。2つ目は現代技術の心臓でね。量子ドットという数ナノメートルの半導体の粒は、まさに「電子の箱」。粒の大きさ L を変えるだけで、電子の段差が変わり、出す光の色が変わる。最近のテレビの鮮やかな色（QLED）は、きみがいま導いた L² の効果で色を調合しているんだよ。2023年のノーベル化学賞はこの量子ドットに贈られた。

実にいい問いだ。並べて比べてごらん。きみの見積もりは ℏ²/2mL²、厳密解は E₁＝π²ℏ²/2mL²。π²≈9.9 倍の差はあるが桁はぴったり同じ――不確定性原理は、最低段の高さを正しく言い当てている。互いの検算として立派に働くね。そのうえで、方程式を解かないと手に入らないものが3つある。① 係数まで込みの正確な値。「およそ」ではなく π² 込みでぴったりだ。② 2段目から上の、はしご全体。E₂＝4E₁、E₃＝9E₁……という段の並びは、不確定性原理からは一切出てこない。原子の光の色を予言できるのは、段差が分かるからだ。③ 波の形 sin(nπx/L)。どこで見つかりやすいかという地図で、これも見積もりでは絶対に出ない。役割分担で言えば、不確定性原理は「床はゼロより上にある」と教えてくれる大原則、方程式は建物全体の設計図をくれる道具、というわけだ。

それが次のステージの主題だよ。実はこの問いは、シュレディンガー本人が答えを間違えたいわくつきの難問なんだ。正しい答えを出したのはボルン。ステージ2に張った伏線――「観測にかかるのは |ψ|」――を、いよいよ回収しに行こう。