量子ゲート

前回、量子ビットの状態は「|0⟩ の矢印と |1⟩ の矢印の一覧表」だと決めた。今日はその表を書き換える話をしよう。ここが「計算」にあたる部分だ。まず比較のために聞くけれど、ふつうのコンピュータは、ビットに対してどんな操作をしているのかな。

その通り。量子コンピュータにも同じ言葉を使って、量子ゲートと呼ぶ。ただし中身がまるで違う。量子ゲートは「0を1にする」のような値の書き換えではなく、矢印の表の書き換えなんだ。表の各行の矢印を、伸ばしたり、向きを変えたり、混ぜ合わせたりする。ただし、勝手な書き換えは許されない。ひとつだけ厳しい掟がある――何だと思う。前回決めた約束から考えてごらん。

その通り。長さの合計を保つ書き換えのことを、専門用語でユニタリな操作という。難しそうな名前だけれど、意味は「表全体を、伸び縮みさせずに回すだけ」ということだよ。そしてこの掟から、面白い帰結がひとつ出る。量子ゲートはすべて逆向きにたどれる――つまり、必ず「元に戻すゲート」が存在する。回した分だけ逆に回せばいいからね。この性質を可逆という。ふつうのANDゲートはそうではない。出力が0だったとき、入力が「0と0」「0と1」「1と0」のどれだったかは、もう分からない。情報が消えてしまうんだ。

まず3つ覚えれば、今日の話は全部つながる。1つめは Xゲート。表の2行をそっくり入れ替える。|0⟩ の矢印と |1⟩ の矢印が席替えするんだ。|0⟩ に当てれば |1⟩ になるから、ふつうのNOTの親戚だね。2つめは Zゲート。こちらは |0⟩ の矢印はそのままで、|1⟩ の矢印だけを正反対の向きにする。長さは変えないから、読み出しの確率は何も変わらない。

その通りだ。ここで、この先ずっと使う大事な種明かしをしておこう。X も Z も「入れ替える」「反転する」と説明したけれど、実はどんな量子ゲートも、たった2つの質問への答えで完全に決まる。「|0⟩ をどこへ送るか」と「|1⟩ をどこへ送るか」――この2列の対応表が、ゲートのすべてだ。
そして、一般の入力への当て方の規則もただ1つ。入力が「|0⟩ の矢印 a、|1⟩ の矢印 b」の重ね合わせなら、出力は
a×（|0⟩ の行き先）＋ b×（|1⟩ の行き先）
――それぞれの行き先を a 倍・b 倍してから、行ごとに足す。「掛けて足す」、これだけだよ。ゲートは波全体に働き、波は足し算で重なっているから、成分ごとの行き先を求めて足せばいい。ちなみに数学では、この2列の対応表を行列と呼び、この「掛けて足す」を行列の掛け算と呼ぶ。名前だけ覚えておくといい。